Examentrainers

De functie f wordt gegeven door f(x) = $\sqrt{25-x^2}$ . De grafiek van f is een halve cirkel met middelpunt O(0,0) en straal 5.

Voor de functie f geldt: $\sqrt{1+\left(\mathrm{f\text{'}}\right(x){)}^2}=\frac{5}{\sqrt{25-x^2}}$

In figuur 1 is de grafiek van f getekend. We bekijken het deel van de grafiek tussen x = 5 − h en x = 5. Door dit gedeelte te wentelen om de x-as ontstaat het bolsegment met dikte h. Zie figuur 2.

figuur 1		figuur 2

Voor de grijs gemaakte oppervlakte A van het bolsegment, dus zonder de oppervlakte van de cirkelvormige linkerkant, geldt:

$A=2\pi \cdot \underset{5-h}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)\cdot \sqrt{1+\left(\mathrm{f\text{'}}\right(x){)}^2}dx$

Met behulp van deze integraal kan exact worden berekend dat A = 10πh.

Bewijs dat A = 10πh.