Al in 1825 ontdekte Gompertz dat de waarden van L(x) in een overlevingstafel
goed te benaderen zijn met een formule van de vorm:
L(x) = 100000 · g(cx-1)
Hierin worden dan voor g en c geschikte getallen gekozen.
Een verzekeringsmaatschappij gebruikt voor een groep van 100 000 pasgeboren
meisjes de formule van Gompertz met g = 0,999 en c = 1,085. Het aantal
vrouwen dat na x jaar nog in leven is, kan dan worden berekend met de formule:
L(x) = 100000 · 0,999(1,085x-1)
In de rest van deze opgave gaan we steeds van deze laatste formule uit.
Met deze formule kunnen we uitrekenen welke leeftijd door maar 50% van de
vrouwen wordt gehaald volgens deze verzekeringsmaatschappij.
Gompertz bestudeerde aanvankelijk de zogenoemde sterfte-intensiteit in
plaats van de functie L(x). Deze sterfte-intensiteit S(x) is als volgt gedefinieerd:
S(x) = -(L’(x) / L(x))
Drie wiskunde-A1,2-leerlingen proberen bij een praktische opdracht over
overlevingstafels onder woorden te brengen wat de sterfte-intensiteit voorstelt.
Dit doen zij zonder de afgeleide van L(x) te bepalen. Ieder van hen komt met
een voorstel:
Johan: "De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, het aantal overlevenden per
sterfgeval na x jaar."
Fiona: "De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, het aantal sterfgevallen per
overlevende na x jaar."
Samira: "De sterfte-intensiteit S(x) is, bij benadering, de afname per jaar van het
aantal overlevenden na x jaar."
Ze kunnen het niet eens worden. Hun wiskundeleraar geeft aan dat één van de
drie voorstellen correct is.
Welk van de drie voorstellen is correct? Licht je antwoord toe.