Al in 1825 ontdekte Gompertz dat de waarden van L(x) in een overlevingstafel
goed te benaderen zijn met een formule van de vorm:
L(x) = 100000 · g(cx-1)
Hierin worden dan voor g en c geschikte getallen gekozen.
Een verzekeringsmaatschappij gebruikt voor een groep van 100 000 pasgeboren
meisjes de formule van Gompertz met g = 0,999 en c = 1,085. Het aantal
vrouwen dat na x jaar nog in leven is, kan dan worden berekend met de formule:
L(x) = 100000 · 0,999(1,085x-1)
In de rest van deze opgave gaan we steeds van deze laatste formule uit.
Met deze formule kunnen we uitrekenen welke leeftijd door maar 50% van de
vrouwen wordt gehaald volgens deze verzekeringsmaatschappij.
De verzekeringsmaatschappij gebruikt een exponentiële functie voor de sterfteintensiteit
S(x). Om te laten zien dat S(x) inderdaad exponentieel is, moet eerst
de afgeleide van L(x) worden bepaald.
Toon aan dat voor deze afgeleide geldt: L’(x) ≈ -8,16 · 0,999(1,085x-1) · 1,085x