Examentrainers

Bank A adverteert met de volgende aanbieding:

1e jaar		3,00% rente
2e jaar		3,25% rente
3e jaar		3,40% rente
4e jaar		3,55% rente
5e jaar		5,00% rente

Als op een rekening het eerste jaar 3% rente uitgekeerd wordt en in het tweede jaar 5%, dan levert dit niet hetzelfde eindbedrag op als wanneer er zowel in het eerste als in het tweede jaar 4% rente uitgekeerd wordt. In het eerste geval is de jaarlijkse groeifactor immers $\sqrt{\mathrm{1,03}\cdot \mathrm{1,05}}$ . Om precies hetzelfde resultaat te bereiken, zou je voor de jaarlijkse groeifactor het zogenoemde meetkundig gemiddelde moeten nemen. Het meetkundig gemiddelde van twee positieve getallen a en b is $\sqrt{a\cdot b}$ . In Wikipedia wordt over het meetkundig gemiddelde de volgende bewering gedaan: de logaritme van het meetkundig gemiddelde is het rekenkundig gemiddelde van de afzonderlijke logaritmen. In formule wordt dit voor de getallen a en b:

$\log \text{(}\sqrt{a\cdot b}\text{)}=\frac{\log \text{(}a\text{)}+\log \text{(}b\text{)}}{2}$ .

Met behulp van de rekenregels voor logaritmen kun je laten zien dat bovenstaande formule geldt voor alle positieve getallen a en b.

Laat zien dat de formule $\log \text{(}\sqrt{a\cdot b}\text{)}=\frac{\log \text{(}a\text{)}+\log \text{(}b\text{)}}{2}$ juist is.