zie figuur 1 van de bijlage
Voor elke positieve startwaarde x0 is een rij x0 , x1, x2 , … gegeven door de
volgende recursievergelijking: xn+1 = ½xn + 1/x2
Deze recursievergelijking kunnen we ook schrijven als xn+1 = g ½xn+1/xn , waarbij
g(x)= ½ x + 1/x met x >0.
De rij x0 , x1, x2 , … convergeert. De grafiek van g heeft één top.
Toon aan dat de limiet van de rij x0 , x1, x2 , … exact gelijk is aan d
x-coördinaat van de top van de grafiek van g.
Een nulpunt van een functie f kan in het algemeen snel benaderd worden met
de recursievergelijking xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn) bij een geschikte keuze van x0.
Deze benaderingsmethode noemt men de methode van Newton-Raphson.
Passen we deze methode toe voor een benadering van het nulpunt √2 van
f (x) = x2 - 2 dan volgt hieruit de gegeven recursievergelijking xn + 1 = ½xn + 1 /xn.